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Rechentrick: So könnte tropische Geometrie Teilchenbeschleuniger-Experimente unterstützen
Rechenproblem der Teilchenphysik: Für präzise Vorhersagen müssen oft enorme Mengen möglicher Teilchenprozesse berücksichtigt werden. Ein neuer Ansatz aus der tropischen Geometrie umgeht das vollständige Aufsummieren entsprechender Diagramme und erzeugt stattdessen gezielte Stichproben. Erste Modellrechnungen reichen bis zur 50. Schleifenordnung, für konkrete Teilchenexperimente ist das Verfahren allerdings noch nicht einsatzbereit.
Waterloo (Kanada). Wenn Teilchen in einem Beschleuniger zusammenprallen, entstehen Signale, die erst durch theoretische Vorhersagen verständlich werden. Eine wichtige Grundlage dafür ist die Quantenfeldtheorie, die das Verhalten und die Wechselwirkungen kleinster Teilchen mathematisch beschreibt.
Doch der Weg von den zugrunde liegenden Gleichungen zu einer messbaren Größe kann enorm aufwendig werden. Denn viele Verfahren berücksichtigen einzelne Feynman-Diagramme, schematische Darstellungen möglicher Teilchenprozesse, deren Zahl mit zunehmender Schleifenordnung schnell wächst. Eine Schleife steht dabei für zusätzliche Quanteneffekte, die in einer Näherungsrechnung berücksichtigt werden.
Der mathematische Physiker Michael Borinsky vom Perimeter Institute for Theoretical Physics (PI) hat ein Verfahren entwickelt, das diese Fülle von Diagrammen nicht mehr einzeln abarbeiten muss. In herkömmlichen Störungsrechnungen kann ihre Zahl mit der Schleifenordnung fakultativ anwachsen. Schon die Fakultät von fünf, also 5 mal 4 mal 3 mal 2 mal 1, beträgt 120.
Das Problem betrifft nicht nur die Geschwindigkeit eines Computers. Jeder zusätzliche Beitrag kann komplizierte mehrdimensionale Integrale erfordern, und für eine hohe Genauigkeit müssen sehr viele solcher Beiträge zusammenkommen.
„Das ist eine furchtbare Wachstumsrate“, erklärt Michael Borinsky.
Der Name hat nichts mit dem Klima zu tun. In der tropischen Geometrie werden komplizierte mathematische Beziehungen so umgeformt, dass vereinfachte Strukturen und Muster leichter zugänglich werden. Borinsky überträgt diese Idee auf bestimmte Quantenfeldtheorien mit massiven Skalarfeldern, also besonders einfache mathematische Modelle von Teilchenwechselwirkungen.
Die so veränderte Theorie lässt sich durch eine Gleichung beschreiben, aus der ihre Beiträge schrittweise berechnet werden können. Für die ursprüngliche, kompliziertere Theorie konstruiert das Verfahren anschließend eine gezielte Zufallsauswahl von Graphen. Diese globale tropische Stichprobenziehung vermeidet es, sämtliche Feynman-Diagramme einer Ordnung einzeln aufzulisten.
Entscheidend ist der Aufwand für das Ziehen solcher Stichproben: Er wächst laut der mathematischen Analyse nur mit einer Potenz der Problemgröße, statt wie die Zahl der Diagramme fakultativ anzusteigen. Auch der dafür benötigte Speicher wächst lediglich polynomial. Damit ist allerdings noch nicht garantiert, dass eine komplette physikalische Vorhersage mit vorgegebener Genauigkeit ebenso effizient gelingt.
Eine erste Computerumsetzung demonstriert, was das Verfahren leisten kann. Für die Dreipunktfunktion eines dreidimensionalen Skalarfeldmodells hat Borinsky Beiträge bis zur 20. Schleifenordnung abgeschätzt. In einem anderen Modell bestimmte er einen ausgewählten Anteil der sogenannten Beta-Funktion bis zur 50. Schleifenordnung. Diese Funktion beschreibt, wie sich die Stärke einer Wechselwirkung mit dem betrachteten Maßstab verändert.